Matriks X

Kata Pengantar

 Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat serta anugrah-Nya sehingga Saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan baik dan dalam bentuk yang sederhana. Semoga Makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca mengenai pengetahuan dasar  mengenai integral.

            Pada pokok pembahasan, disajikan materi yang ringkas tentang Integral dan jenis serta metode penyelesaiannya. Dalam makalah ini saya tidak lupa menyajikan contoh penerapan integral dalam kehidupan sehari-hari dan dapat anda lihat pada bab pembahasan.

            Harapan Saya semoga makalah ini menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, walaupun Saya akui masih banyak kekurangan dalam penyajian makalah ini karena ilmu Matematika  yang Saya miliki masih sangat kurang.

            Akhir kata, Saya sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini, dari awal sampai akhir hingga menjadi sebuah makalah. Saya sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun untuk pembuatan makalah berikutnya, terimakasih.

DAFTAR ISI :

HALAMAN JUDUL……………………….i

KATA PENGANTAR……………………..ii

DAFTAR ISI…………………………………iii

BAB    I           PENDAHULUAN

1.      Kompetensi dasar…………………. 1

2.      Peta Konsep…………………………1

3.      Latar belakang………………………2

4.      Rumusan masalah……………………2

5.      Tujuan………………………………..2

BAB    II         PEMBAHASAN

A.    Pengertian matriks……………………..3

B.     Jenis-jenis matriks……………………..3

C.     Transpose matriks……………………...8

BAB    III        PENUTUP

1.      Contoh soal…………………………….14

2.      Pembahasan soal……………………….15

BAB    I

PENDAHULUAN

A. Kompetensi dasar

Setelah mengikuti pembelajaran matriks, siswa

mampu:

1. menghayati pola hidup disiplin, kritis,

bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta

menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.

2. menghayati kesadaran hak dan kewajiban

serta toleransi terhadap berbagai perbedaan di

dalam masyarakat majemuk sebagai gambaran

menerapkan nilai-nilai matematis;

3. menghayati rasa percaya diri, motivasi internal

dan sikap peduli lingkungan melalui kegiatan

kemanusiaan dan bisnis dalam kehidupan

sehari-hari;

4. memahami konsep matriks sebagai representasi

numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata;

5. memahami operasi sederhana matriks serta

menerapkannya dalam pemecahan masalah.

B. Peta konsep

C. Latar belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.

D. Rumusan masalah

1.      Apa pengertian dari matriks ?

2.      Apa saja jenis-jenis matriks ?

3.      Apakah yang di maksud invers matriks ?

4.      Apa yang di maksud determinan matriks ?

E. Tujuan pembelajaran

1.      Untuk mengetahui pengertian matriks

2.      Mengetahui macam-macam matriks

3.      Untuk mengetahui apa yang di maksud invers matriks

4.      Untuk mengetahui apa yang di maksud determinan matriks

BAB    II

PEMBAHASAN

A. Pengertian matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang dan bujur sangkar dimana panjang dan lebarnya di tunjukkan oleh kolom dan baris yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) dan [ ]

B. Jenis-jenis matriks

1. Jenis matriks berdasarkan jumlah baris dan kolom

A.    Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan kolomnya sama. Dengan kata lain, matriks persegi memiliki ordo n x n seperti 2x2, 3x3, 4x4, dan sterusnya.

Matriks persegi 3 x 3

B.     Matriks baris

Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris dan beberapa kolom. Matriks baris memiliki ordo 1 x n ; dengan n > 1 seperti 1x3, 1x5, dan lain sebagainya.

 

Matriks baris 1 x 3

C.     Matriks kolom

Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom dan beberapa baris. Mariks kolom memiliki ordo n x 1 ; dengan n > 1 seperti 3x1, 4x1, dan lain sebagainya.                                                                                                 

 

       Matriks kolom 3 x 1

D.    Matriks mendatar

Matriks mendatar adalah matriks yang jumlah kolomnya lebih banyak dari jumlah barisnya misalnya matriks dengan ordo 2x4, 2x6, dan lain sebagainya.

Matriks mendatar 3 x 5

E.     Matriks tegak

Matriks tegak adalah matriks yang jumlah barisnya lebih banyak dari jumlah kolomnya misalnya matriks dengan ordo 4x2, 6x3, dan lain sebagainya.

 

Matriks tegak 3 x 2

2. Jenis matriks berdasarkan pola elemen nya

A.    Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks berordo m x n yang elemen-elemennya bernilai nol.

Matriks nol 3 x 3

B.     Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utama bernilai nol.

Matriks diagonal 3 x 3

C.     Matriks identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen-elemen selain diagonal utama bernilai nol.

 

Matriks identitas 3 x 3

D.    Matriks segitiga

Matriks segitiga terdiri dari dua jenis yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas merupakan matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga bawah merupakan matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks segitiga atas

 

Matriks segitiga    bawah

E.     Matriks simetris

Matriks simetris adalah matriks yang elemen-elemen di bawah dan di atas diagonal utamanya simetris. Dengan kata lain, elemen pada selmn sama dengan elemen pada sel nm, misalnya elemen pada sel 12 sama dengan elemen pada sel 21. Pada gambar di bawah dapat dilihat bahwa elemen pada sel 21 sama dengan elemen pada sel 12 yaitu 2.

Matriks simetris 3 x 3

F.      Matriks skalar

Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada diagonal utamanya sama dan elemen lain bernilai nol.

Matriks skalar 3 x 3

 

C. Transpose matriks

Yang dimaksud dengan transpose matriks adalah ketika pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain dari matriks transpose adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan elemen-elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya. Biasanya sebuah matriks transpose disimbolkan dengan menggunakan lambang tanda petik (A') ataupun dengan huruf T kecil di atas (AT). Perhatikan gambar berikut:

 

Pada gambar di atas dapat didefinisikan bahwa matriks m x n berubah menjadi m x n. Jika kita perhatikan, elemen-elemen yang ada pada baris satu berubah posisi menjadi elemen kolom 1. Elemen pada baris 2 berubah menjadi elemen pada kolom 2, begitu juga dengan elemen pada baris ke 3 berubah posisi menjadi elemen kolom ke 3.

BAB III          PENUTUP

1. Contoh soal

1.      Matriks P dan matriks Q sebagai berikut 

P ,     Tentukan matriks PQ

2.      Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini

  ,                        

Diketahui P = Q

3.      Tentukan determinan dari matriks A berikut ini

4.      Diberikan sebuah matriks

     

      Tentukan invers dari matriks P

5.      Tentukan transpose dari matriks A berikut ini

2. Pembahasan soal 

2.      =

3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
  y = 6   
y = 2
Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

3.      Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13 

4.      Invers matriks 2x2

     

        

       

5.      Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris menjadi kolom seperti contoh berikut: